2022年7月18日，由中国科学院大学经济与管理学院、中国科学院数学与系统科学研究院和中国科学院预测科学研究中心共同举办的2022世界计量经济学会“亚洲计量经济学与统计学暑期学校”正式开启，邀请知名计量经济学与统计学领域的专家授课，分享最新理论前沿。
Oliver Linton 教授应邀于7月18日下午和20日下午为暑期学校学员做精彩授课教学。
Oliver Linton是英国剑桥大学三一学院院士、政治经济学教授，英国社会科学院院士，计量经济学会和数理统计学会会士。其主要研究领域为非参数和半参数方法以及实证金融，曾在包括Econometrica、Journal of Econometrics、Econometric theory等众多国际顶级经济学刊物上发表百余篇学术成果。
7月18日下午，Linton教授第一次授课带来题为“Nonparametric Methods in High Frequency and Low Frequency”的讲座。
首先，Linton教授介绍了连续时间模型与数理金融的密切关系，并且强调了在连续时间框架下对高频数据建模日益得到关注。紧接着，Linton教授介绍了连续时间计量经济学中的基本概念，包括随机过程的样本路径、布朗运动、随机积分、扩散过程 (及其满足的随机微分方程的解的唯一性、平稳性)等。除此之外，Linton教授还解释了由布朗运动拓展到扩散过程的必要性，以及扩散过程的密度函数、漂移函数、扩散 (波动率) 函数三者之间的依赖关系和启示。
随后，基于对漂移函数、扩散函数的不同设定，Linton教授总结了三种基本的扩散过程模型 (参数模型、半参数模型、非参数模型)，两种观测值类型 (时间间隔相等或者不相等)，以及三种渐近理论框架 (Infill、Long span或两者混合)，其中 Infill指在固定长度的区间内，连续两个观测值之间的最大时间间隔随样本数量增加而趋于0，Long span指在长度增加的区间内，连续两个观测值之间的最小时间间隔并不随样本增加而趋于0。在参数识别方面，Linton教授特别强调了，仅仅依赖Infill 理论无法识别漂移函数，然而Infill和Long span理论下均可以识别扩散函数并得到一致估计量。
在对扩散模型的估计方面，Linton教授分别介绍了对参数模型、半参数模型、非参数模型不同的处理方式。首先是参数模型，Linton教授表示，基于极大似然方法估计参数扩散模型时，所需要的转移密度函数往往涉及到求解偏微分方程，此时计算量较大。因此，Linton教授介绍了广义矩估计方法，其核心思想是基于无穷小生成算子来构造一系列矩条件，从而可以对漂移函数和扩散函数中的有限维参数进行估计以及发展渐近理论。针对Long span下的半参数模型，假设漂移函数具有参数形式，扩散函数的形式完全未知，Linton教授讲授了OLS和核方法结合可以对有限维参数和无穷维函数进行估计。针对Infill下的非参数模型，Linton教授介绍两篇代表性论文：Jiang and Knight (1997) 利用核函数方法估计扩散函数，并证明估计量的极限分布为混合正态，Bandi and Phillips (2002) 则在Infill和Long span结合的框架下，同时对漂移函数和扩散函数进行非参数核估计，并且建立了两者的混合渐近正态性。
Linton教授进一步介绍了高频数据下的二次变差 (Quadratic variation)的定义，并指出了二次变差与波动率的关系、二次变差存在的充分条件及其经济学含义。 随后，Linton教授引入已实现波动率的概念，在布朗半鞅 (Semi-martingales)模型、带跳跃的扩散模型中，已实现波动率是二次变差的一致估计量，并且具有混合渐近正态性。然而，Linton教授为大家展示了，从实际数据来看，已实现波动率随着数据频率增加往往并不会收敛，这显然与Infill框架下已实现波动率的一致性理论不符合。对此，Linton教授表明，学术研究显示市场微观结构 (Market microstructure) 可以对此现象进行解释，并且讲解了市场微观结构 (噪音) 的主要来源，从而引入了测量误差模型，即可观测的价格是潜在价格 (有效价格) 与微观噪音两者之和。
在假设微观噪音为 IID 的测量误差模型中，通过理论推导，Linton教授分析了此时使用全部数据将无法使得已实现波动率是二次变差的一致估计量，这直接启发了使用低频数据的解决思路。特别地，Linton教授为大家展示了低频数据的直觉，并且由此衍生的子抽样方法能保证已实现波动率依然是二次变差的一致估计，同时也具有相应的渐近分布。关于对二次变差的估计，Linton教授还介绍了已实现核 (Realized kernel) 方法和预平均 (Pre-averaging) 方法，兼顾理论公式和直觉上的讲解。最后，Linton教授强调了微观噪音 IID 的假设往往过于强，将其放松到允许存在序列相依性具有理论和现实必要性。
在7月20日的讲座中，针对可加的微观噪音模型，Linton教授首先列举了一些经济学应用，并介绍了建模目标、识别问题，强调了本门课程的关注点在于微观噪音本身 (如噪音的自协方差函数)。有鉴于此，Linton教授假设不可观测的有效价格服从伊藤半鞅过程，假设微观噪音具有乘积形式，从而建立了一个一般的可加的微观噪音模型。为了估计微观噪音的自协方差函数，Linton教授介绍了三种主要方法，即 Jacod et al. (2017) 的局部平均方法，Da and Xiu (2021) 的QMLE 方法，以及 Li and Linton (2022) 的ReMeDI 方法。然而，由于局部平均方法估计中涉及到两步法，其往往会产生不可忽略的偏误项；而QMLE方法对噪音项服从的 MA 过程有着苛刻的要求。Linton教授提出的 ReMeDI 方法的核心思想是通过对可观测的价格进行长滞后期差分，从而用形成的二阶估计量来估计噪音的自协方差函数，这能够实现消除偏误的目标，并且估计量依然是一致的，它还对信噪比、调节参数、观测频率具有稳健的表现，相比于其它两种方法，ReMeDI方法的计算更为方便。
在对 ReMeDI 方法的理论分析方面，首先，Linton教授通过对噪音的自协方差估计量进行分解，从而讲解了为何 ReMeDI 估计量具有一致性。在估计量的二阶及更高阶性质方面，Linton教授讲解了一系列的理论结果。这包括，第一，Infill和Long span 两种情形下的渐近正态性及其稳健标准误估计量。第二，利用一种投影的方法保证自协方差矩阵估计量的正定性。第三，在噪音序列的序列相依性为指数衰减 (弱相依性) 和多项式衰减 (强相依性) 的两种情形下，Linton教授基于偏差-方差权衡推导出了非参估计窗宽的最优理论速率，并给出了选择窗宽的可行准则。
随后，Linton教授介绍了关于可加微观噪音模型的现存其它研究，包括噪音很小时对噪音自协方差的推断、检验噪音的存在性、噪音具有内生性，噪音中存在异方差和随机时间变化时的 ReMeDI方法，以及基于 ReMeDI 方法的几种新的市场流动性测度。
在讲座最后，Linton教授指出了未来潜在的一些研究方向。例如，将 ReMeDI 方法与最小距离方法或 GMM 方法结合来提高估计有效性，利用局部平稳假设来替代噪音中的乘积形式，将可加微观噪音模型拓展到多元序列情形，对噪音过程的非线性泛函 (如 Quantilogram) 进行估计和统计推断。
（文/徐卫超 王学新 图/徐卫超）
